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Définition des modes non-linéaires

Bruno COCHELIN
Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique (LMA),
École d'Ingénieur Généraliste de Marseille (EGIM)

L’objet de cet exposé est de définir et d’illustrer la notion de modes non-linéaires pour des systèmes mécaniques qui présentent des équations du mouvement régulières. Un exemple caractéristique est celui des structures élastiques minces (poutres, plaques, coques) qui effectuent des oscillations d’amplitudes finies (non-linéarité géométrique) au voisinage de positions d’équilibre stables : les non-linéarités sont alors de type polynomiales, quadratiques et cubiques. L’accent est mis volontairement sur l’évolution de la définition et du calcul des modes non-linéaires depuis les travaux fondateurs de Rosenberg (1962) jusqu’à nos jours.
Dans une première partie, on présente les notions de “vibrations à l’unison” et de “lignes modales”, introduites en 1962-1966 par Rosenberg et ses collaborateurs, pour des systèmes masses-ressorts conservatifs avec des forces de rappels impaires. Outre la présentation des équations qui définissent ces mouvements modaux non linéaires, on effectue des simulations numériques simples pour illustrer le concept de ligne modale.
La seconde partie de l’exposé concerne la généralisation due à Shaw et Pierre (1991-1994). Le mode non-linéaire est défini comme l’ensemble des mouvements qui se situent dans un sous-espace invariant de dimension 2 de l’espace des phases, tangent à l’origine (i.e. pour des amplitudes de vibrations nulles) aux sous-espaces propres du système linéaire sous-jacent. On étend ainsi la notion de mode à une classe plus large de mouvements, en faisant de l’invariance la clé d’une redécomposition en sous-espaces qui seront courbés. Cette définition, plus générale et qui s’appuie sur le formalisme des systèmes dynamiques, permet de traiter des forces de rappels quelconques et d’inclure de l’amortissement, ou des termes gyroscopiques. Là encore, des simulations numériques sur un système élémentaire à deux degrés de liberté permettent de visualiser les modes non linéaires.
Enfin, comme une motivation à l’étude de ces modes non-linéaires, on montrera par des simulations numériques que, comme pour les systèmes linéaires, les résonances principales se produisent dans le voisinage immédiat des modes non-linéaires. Quelques méthodes de calculs des modes non-linéaires seront également abordées.


Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés - LMSSC