helie06-COLLOQUE

Systèmes différentiels fractionnaires et irrotationnels :
approximation et optimisation

Thomas HÉLIE
Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique (IRCAM), CNRS UMR 9912, Paris

Les systèmes linéaires différentiels fractionnaires sont difficiles et coûteux à simuler dans le domaine temporel. Dans le domaine de Laplace, ils présentent des singularités standard de type pôle mais aussi de type coupure. Nous montrerons comment cette analyse de singularités permet de fournir des représentations intégrales (appelées aussi représentations diffusives) de ces systèmes aussi bien dans le domaine de Laplace que le domaine temporel. Ces représentations exactes permettent de définir assez naturellement des approximations dont les paramètres peuvent s’obtiennent soit par une méthode d’interpolation soit par optimisation. La première méthode peut conduire à des approximations convergentes mais de haute dimension. La seconde permet d’aboutir à des approximations très efficaces pour des choix de critères (mesure de pondération, régularisation, contraintes) bien adaptés aux applications visées. Nous présenterons ces résultats sur plusieurs examples concrets (systèmes fractionnaires mais aussi des systèmes plus généraux de fonctions de transfert irrationnelles).

Références

[1] M. Dunau, Représentations diffusives de seconde espèce : introduction et expérimentation, thèse de master, DEA d’Automatique, Toulouse, 2000.
[2] G. Garcia, J. Bernussou, Identification of the dynamics of a lead acid battery by a diffusive model, ESAIM : Proceedings, 5, 87–98, December 1998. URL : http ://www.edpsciences.org/articles/proc/Vol.5/.
[3] T. Hélie, D. Matignon, Diffusive reprentations for the analysis and simulation of flared acoustic pipes with visco-thermal losses, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS), 16, 503–536, Januar 2006.
[4] T. Helie, D. Matignon, Representations with poles and cuts for the time-domain simulation of fractional systems and irrational transfer functions, Signal Processing (SP), 86, 2516–2528, July 2006.
[5] T. Helie, D. Matignon, R. Mignot, Criterion design for optimizing low-cost approximations of infinite-dimensional systems : towards efficient real-time simulation, IFAC Workshop on Control Applications of Optimisation (CAO’06), 368–373, Cachan, France, May 2006.


Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés - LMSSC