touze05-COLLOQUE

Modèles d'ordre réduit pour les vibrations non-linéaires géométriques de coques minces

Cyril TOUZÉ
Unité de mécanique, École Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA), Palaiseau
Olivier THOMAS
LMSSC, Cnam, Paris
Marco AMABILI
Department of Mechanical Engineering, University of Parma, Italy

L’étude des vibrations de grande amplitude (non-linéarité géométrique) de coques minces présente de nombreuses difficultés, tant du point de vue théorique (complexité des équations, convergence des solutions) que phénoménologique (richesse des comportements possibles). Dans cette présentation, nous nous attacherons à montrer comment l’utilisation des modes non-linéaires permet, grâce à la réduction de la dimension des équations à traiter, de déduire des résultats hors de portée d’une étude “classique” utilisant les modes linéaires.
Tout d’abord, la méthodologie employée pour le calcul des modes normaux non-linéaires est rappelée. Elle est fondée sur la théorie des formes normales : un changement de variables non-linéaire, permettant de passer de l’espace des modes linéaires à celui des modes non-linéaires, est défini, de telle sorte que le calcul présente des ressemblances avec celui utilisé au stade linéaire. Il sera ensuite démontré qu’une troncature selon les modes non-linéaires donnera de meilleurs résultats qu’une usuelle troncature linéaire par la méthode de Galerkin. La méthode sera ensuite appliquée à deux cas différents.
Tout d’abord le cas d’une coque sphérique faiblement courbée sera traité. La réduction, permise par les modes non-linéaires, permet d’effectuer une étude paramétrique du type de non-linéarité de la coque, en fonction de sa courbure. Par type de non-linéarité, on entend le type de dépendance de la fréquence d’oscillation avec l’amplitude. Si la fréquence augmente avec l’amplitude, on parlera de mode “raidissant” (hardening behaviour en anglais), sinon de mode “assouplissant” (softening behaviour). Alors que la prédiction de ce type de non-linéarité est une des données premières caractérisant le comportement de la coque, les méthodes linéaires ne permettait pas de donner cette simple information à cause de la complexité mise en jeu. La puissance de la réduction offerte par l’introduction des modes non-linéaires sera donc ici soulignée.
Ensuite, le cas d’une coque cylindrique, remplie d’un liquide (eau) au repos, sera montré. L’étude des solutions vibratoires au voisinage d’une des premières fréquences d’un mode asymétrique sera menée. Un modèle utilisant 16 modes linéaires, pour lequel la convergence est obtenue, donnera une solution de référence, montrant des couplages entre les deux configurations du mode. Ce modèle sera réduit à 2 modes non-linéaires, diminuant drastiquement la complexité mise en jeu, et on montrera que les solutions présentent un excellent accord qualitatif et quantitatif. Enfin, une autre méthode de réduction, la méthode de Karhunen-Loève (Proper Orthogonal Decomposition (POD) en anglais), sera comparée, montrant qu’il faut alors 3 modes dans ce cas-là pour retrouver la dynamique originale, et un temps de calcul beaucoup plus long pour construire le modèle réduit.


Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés - LMSSC