Thèse présentée par Antoine Placzek

Construction de modèles d'ordre réduit non-linéaires basés sur la décomposition orthogonale propre pour l'aéroélasticité

Soutenue le 16 décembre 2009 devant le jury composé de :

Résumé :

La prédiction numérique de la réponse de systèmes aéroélastiques requiert la résolution d'un nombre important d'équations lorsque les techniques classiques de discrétisation éléments finis ou volumes finis sont employées. Le coût de calcul associé devient rapidement rédhibitoire dès lors qu'il s'agit d'effectuer une analyse paramétrique du système afin de déterminer ses limites de stabilité, d'appliquer un contrôle actif ou encore d'optimiser certains paramètres. Le recours à un modèle d'ordre réduit le plus représentatif qui soit du système dynamique initial devient alors indispensable pour réduire les coûts de calcul et rendre ainsi possible les études paramétriques. Parmi les multiples méthodes de réduction développées par le passé, la projection de Galerkin sur une base de vecteurs issus de la décomposition orthogonale propre (POD) d'un ensemble de réponses du système s'est imposée en mécanique des fluides. La difficulté de la construction d'un tel modèle d'ordre réduit pour les systèmes aéroélastiques est double : tout d'abord les équations de Navier-Stokes d'un fluide compressible s'accordent difficilement avec la projection de Galerkin lorsqu'il s'agit de traiter les non-linéarités, et ensuite le mouvement ou la déformation du domaine de calcul entraîne une incohérence dans la définition des modes POD.

Dans ce mémoire, le principe de construction d'un modèle d'ordre réduit reposant sur l'utilisation des modes POD est d'abord rappelé dans une première partie puis appliqué à un système dynamique linéaire pour lequel plusieurs formulations sont développées puis comparées pour tenir compte de conditions limites spécifiques. La seconde partie concerne le développement d'un modèle d'ordre réduit des équations de Navier-Stokes pour un fluide compressible visqueux. Un premier modèle d'ordre réduit développé pour un domaine de frontières fixes est corrigé puis validé sur l'exemple d'un profil NACA0012 positionné de manière à provoquer le développement d'une allée instationnaire de Von Kármán dans le sillage. Dans un second temps, le modèle d'ordre réduit est étendu au cas d'un domaine mobile en faisant l'hypothèse d'un mouvement de corps rigide. De cette manière, la formulation adoptée permet de se ramener à un domaine fixe afin d'éluder le problème de définition des modes POD. Ce second modèle d'ordre réduit est alors appliqué à la reproduction de l'écoulement transsonique autour d'un profil NACA0064 animé d'un mouvement d'oscillation harmonique autour d'une position d'équilibre. Plutôt que de calculer explicitement les coefficients du modèle d'ordre réduit à partir des expressions analytiques, une identification des termes est pratiquée afin d'améliorer la précision des résultats et de diminuer considérablement le temps de calcul pour la construction du modèle réduit.