Reconstruction de solutions de problèmes aux valeurs propres paramétriques : Influence des points exceptionnels.

Au LMSSC, Paris, le 16 juin 2022

Benoit Nennig
Maître de conférences, Vibrations, Acoustique, Structures et Formes Mécaniques (VAST-FM), Laboratoire Quartz, ISAE-Supméca, Saint-Ouen, France

Pour reconstruire les solutions d'un problème aux valeurs propres dépendant d'un ou de plusieurs paramètres, on peut utiliser des méthodes de perturbation basées sur des développements de Taylor. Il existe maintenant des algorithmes performants pour obtenir numériquement les dérivées successives d'un ensemble de valeurs propres. Cette approche fonctionne mais se dégrade dans les zones de veering (variation brusque de valeurs propres proches). On peut montrer que le veering est une conséquence de la présence d'un point de branchement pour des valeurs complexes des paramètres, appelé "point exceptionnel".

Ce type de dégénérescence apparaît pour les problèmes non-Hermitien et a suscité une forte attention dans la communauté scientifique car elles peuvent avoir un impact important sur une large variété de problèmes physiques (PT-symétrie, instabilité thermo-acoustique..) et leur solution numérique. La méthode proposée est basée sur une approximation du polynôme caractéristique dont les coefficients, obtenus à partir des dérivées successives d'un ensemble de valeurs propres, possèdent un rayon de convergence plus large car plus limité par la présence des premiers EPs.

Ces manipulations algébriques permettent de construire un modèle réduit permettant i) de résoudre rapidement le problème aux valeurs propres pour d'autres valeurs des paramètres, ii) de suivre les branches modales, iii) de localiser les EP d'ordre supérieur. La méthode est appliquée sur des exemples issus de la dynamique des structures ou de l'acoustique.

Co-auteurs

Emmanuel Perrey-Debain
Professeur, Acoustique & Vibrations, Laboratoire Roberval, Université de Technologie de Compiégne (UTC)

Martin Ghienne
Maître de conférences, Vibrations, Acoustique, Structures et Formes Mécaniques (VAST-FM), Laboratoire Quartz, ISAE-Supméca, Saint-Ouen, France