Mémoire d'ingénieur Cnam présenté par Lionel Auffray

Ce travail a pour objectif de comparer des formulations éléments finis en non linéaire géométrique de structures planes de type barres, poutres en théorie de Bernoulli et en théorie de Timoshenko. L’étude se fait en statique, grands déplacements, grandes rotations et petites déformations.

Pour répondre à cet objectif, l’étude se décompose en trois parties. Tout d’abord, nous introduisons les descriptions Lagrangienne Totale (LT), Lagrangienne Réactualisée (LR) et Co-Rotationnelle (CR) afin de définir le mouvement en grands déplacements et en grandes rotations. Nous présentons alors le principe des travaux virtuels sous forme incrémentale. Ensuite, plusieurs formulations éléments finis LT et CR sont détaillées. En particulier, nous montrons comment déterminer le vecteur des efforts intérieurs et la matrice de rigidité tangente et comment résoudre les problèmes de verrouillages en membrane et en cisaillement généralement associés aux modèles en déplacement à faible degré d’interpolation. Enfin, pour démontrer les capacités et les limites des formulations présentées, une mise en œuvre numérique est réalisée sous le logiciel MATLAB. Des exemples tirés d’articles référencés sont alors présentés et nous permettent d’apprécier concrètement ce qui caractérise chacune des formulations.

Pour les deux théories de poutre, l’analyse des résultats montre qu’il y a équivalence des formulations LT et CR pour une mesure de déformation donnée. On voit également qu’une formulation basée sur la théorie de Timoshenko nécessite un nombre d’éléments plus important pour une précision équivalente à celle de la théorie de Bernoulli. De plus, nous étudions l’influence du rapport L/H (longueur sur épaisseur de la poutre) sur la qualité des résultats. Nous voyons donc quels sont les critères qui influent sur le choix d’une formulation qui décrira avec suffisamment de précision et de fiabilité le mouvement de la structure en non linéaire géométrique.